Страница 1
Тест 7
Нормальный закон распределения. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины (НРСВ) в заданный интервал.
Основные сведения из теории.

Нормальным называют распределение вероятностей случайной величины (СВ) X , если плотность распределения определяется уравнением:

Где a – математическое ожидание СВ X ; - среднее квадратическое отклонение.

График
симметричен относительно вертикальной прямой
. Чем больше , тем больше размах кривой
. Значения функции
имеются в таблицах.

Вероятность того, что СВ X примет значение, принадлежащее интервалу
:
, где
- функция Лапласа. Функция
определяется по таблицам.

При =0 кривая
симметрична относительно оси ОУ- это стандартное (или нормированное) нормальное распределение.

Так как функция плотности вероятности НРСВ симметрична относительно математического ожидания, то можно простроить так называемую шкалу рассеивания:

Видно, что с вероятностью 0,9973 можно утверждать, что НРСВ примет значения в пределах интервала
. Это утверждение получило в теории вероятностей название “правила Трех сигм”.

1. Сравните величины для двух кривых НРСВ.

1)
2)

2. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей
. Тогда математическое ожидание этой нормально распределенной случайной величины равно:

1) 3 2) 18 3) 4 4)

3. НРСВ Х задана плотностью распределения:
.

Математическое ожидание и дисперсия этой СВ равны:

1) =1 2) =5 3) =5

=25 =1 =25
4. Правило трех сигм означает, что:

1) Вероятность попадания СВ в интервал
, то есть близка к единице;

2) НРСВ не может выйти за пределы
;

3) График плотности НРСВ симметричен относительно математического ожидания

5. СВ Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 5 и СКО, равным 2 единицы. Выражение для плотности распределения этой НРСВ имеет вид:

1)

2)

3)

6. Математическое ожидание и СКО НРСВ Х равны 10 и 2. Вероятность того, что в результате испытания СВ Х примет значение, заключенное в интервале , составляет:

1) 0,1915 2) 0,3830 3) 0,6211

7. Деталь считается годной, если отклонение Х действительного размера от размера на чертеже по абсолютной величине меньше, чем 0,7 мм. Отклонения Х от размера на чертеже являются НРСВ со значением =0,4 мм. Изготовлено 100 деталей; из них годных будет:

1) 92 2) 64 3) 71

8. Математическое ожидание и СКО НРСВ Х равны 10 и 2. Вероятность того, что в результате испытания СВ Х примет значение, заключенное в интервале составляет:

1) 0,1359 2) 0,8641 3) 0,432

9. Погрешность Х изготовления детали является НРСВ со значением a =10 и =0,1. Тогда с вероятностью 0,9973 интервал размеров деталей, симметричный относительно a =10 будет:

1) 9,7; 10,3 2) 9,8; 10,2 3) 9,9; 10,1

10. Взвешивают все изделия без систематических ошибок. Случайные ошибки Х измерения подчинены нормальному закону со значением =10 г. Вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой не превосходящей по абсолютной величине 15 г составляет:

1) 0,8664 2) 0,1336 3) 0,4332

11. НРСВ Х имеет математическое ожидание a =10 и СКО =5. С вероятностью 0,9973 величина Х попадет в интервал:

1) (5; 15) 2) (0; 20) 3) (-5; 25)

12. НРСВ Х имеет математическое ожидание a =10. Известно, что вероятность попадания Х в интервал равна 0,3. Тогда вероятность попадания СВ Х в интервал будет равна:

1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3

13. НРСВ Х имеет математическое ожидание a =25. Вероятность попадания Х в интервал равна 0,2. Тогда вероятность попадания Х в интервал будет равна:

1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3

14. Температура в помещении поддерживается нагревателем и имеет нормальное распределение с
и
. Вероятность того, что температура в этом помещении будет в пределах от
до
составляет:

1) 0,95 2) 0,83 3) 0,67

15. Для стандартизованного нормального распределения величина равна:

1) 1 2) 2 3)

16. Эмпирическое нормальное распределение образуется в том случае, когда:

1) действует большое число независимых случайных причин, имеющих примерно одинаковый статистический вес;

2) действует большое число сильно зависимых между собой случайных величин;

3) объем выборки небольшой.

1	Значение определяет размах кривой плотности распределения относительно математического ожидания. Для кривой 2 размах больше, то есть	(2)
2	В соответствии с уравнением для плотности НРСВ математическое ожидание a =4.	(3)
3	В соответствии с уравнением для плотности НРСВ имеем: =1; =5, то есть .	(1)
4	Верным является ответ (1).	(1)
5	Выражение для плотности распределении НРСВ имеет вид: . По условию: =2; a =5, то есть верным является ответ (1).	(1)
6	По условию =10; =2. Интервал равен . Тогда: ; . По таблицам функции Лапласа: ; . Тогда искомая вероятность:	(2)
7	По условию: =0; ;=0,4. Значит интервал будет [-0,7; 0,7]. ; . ; То есть из 100 деталей наиболее вероятно будет годных 92 штуки.	(1)

8	По условию: =10 и =2. Интервал равен . Тогда: ; . По таблицам функции Лапласа: ; ;	(1)
9	В интервал, симметричный относительно математического ожидания a =10 с вероятностью 0,9973, попадают все детали, имеющие размеры, равные , то есть ; . Таким образом:	(1)
10	По условию ,то есть =0, а интервал будет [-15;15] Тогда: ; .

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины , подчиненной нормальному закону с параметрами , на участок от до . Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой

где - функция распределения величины .

Найдем функцию распределения случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами . Плотность распределения величины равна:

. (6.3.2)

Отсюда находим функцию распределения

. (6.3.3)

Сделаем в интеграле (6.3.3) замену переменной

и приведем его к виду:

(6.3.4)

Интеграл (6.3.4) не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения или (так называемый интеграл вероятностей), для которого составлены таблицы. Существует много разновидностей таких функций, например:

;

и т.д. Какой из этих функций пользоваться – вопрос вкуса. Мы выберем в качестве такой функции

. (6.3.5)

Нетрудно видеть, что эта функция представляет собой не что иное, как функцию распределения для нормально распределенной случайной величины с параметрами .

Условимся называть функцию нормальной функцией распределения. В приложении (табл. 1) приведены таблицы значений функции .

Выразим функцию распределения (6.3.3) величины с параметрами и через нормальную функцию распределения . Очевидно,

. (6.3.6)

Теперь найдем вероятность попадания случайной величины на участок от до . Согласно формуле (6.3.1)

Таким образом, мы выразили вероятность попадания на участок случайной величины , распределенной по нормальному закону с любыми параметрами, через стандартную функцию распределения , соответствующую простейшему нормальному закону с параметрами 0,1. Заметим, что аргументы функции в формуле (6.3.7) имеют очень простой смысл: есть расстояние от правого конца участка до центра рассеивания, выраженное в средних квадратических отклонениях; - такое же расстояние для левого конца участка, причем это расстояние считается положительным, если конец расположен справа от центра рассеивания, и отрицательным, если слева.

Как и всякая функция распределения, функция обладает свойствами:

3. - неубывающая функция.

Кроме того, из симметричности нормального распределения с параметрами относительно начала координат следует, что

Пользуясь этим свойством, собственно говоря, можно было бы ограничить таблицы функции только положительными значениями аргумента, но, чтобы избежать лишней операции (вычитание из единицы), в таблице 1 приложения приводятся значения как для положительных, так и для отрицательных аргументов.

На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно центра рассеивания . Рассмотрим такой участок длины (рис. 6.3.1). Вычислим вероятность попадания на этот участок по формуле (6.3.7):

Учитывая свойство (6.3.8) функции и придавая левой части формулы (6.3.9) более компактный вид, получим формулу для вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону на участок, симметричный относительно центра рассеивания:

. (6.3.10)

Решим следующую задачу. Отложим от центра рассеивания последовательные отрезки длиной (рис. 6.3.2) и вычислим вероятность попадания случайной величины в каждый из них. Так как кривая нормального закона симметрична, достаточно отложить такие отрезки только в одну сторону.

По формуле (6.3.7) находим:

(6.3.11)

Как видно из этих данных, вероятности попадания на каждый из следующих отрезков (пятый, шестой и т.д.) с точностью до 0,001 равны нулю.

Округляя вероятности попадания в отрезки до 0,01 (до 1%), получим три числа, которые легко запомнить:

0,34; 0,14; 0,02.

Сумма этих трех значений равна 0,5. Это значит, что для нормально распределенной случайной величины все рассеивания (с точностью до долей процента) укладывается на участке .

Это позволяет, зная среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно указать интервал её практически возможных значений. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен в математической статистике под названием «правило трех сигма». Из правила трех сигма вытекает также ориентировочный способ определения среднего квадратического отклонения случайной величины: берут максимальное практически возможное отклонение от среднего и делят его на три. Разумеется, этот грубый прием может быть рекомендован, только если нет других, более точных способов определения .

Пример 1. Случайная величина , распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. При измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения на 1,2 (м); среднее квадратическое отклонения ошибки измерения равно 0,8 (м). Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1,6 (м).

Решение. Ошибка измерения есть случайная величина , подчиненная нормальному закону с параметрами и . Нужно найти вероятность попадания этой величины на участок от до . По формуле (6.3.7) имеем:

Пользуясь таблицами функции (приложение, табл. 1), найдем:

; ,

Пример 2. Найти ту же вероятность, что и в предыдущем примере, но при условии, что систематической ошибки нет.

Решение. По формуле (6.3.10), полагая , найдем:

.

Пример 3. По цели, имеющей вид полосы (автострада), ширина которой равна 20 м, ведется стрельба в направлении, перпендикулярном автостраде. Прицеливание ведется по средней линии автострады. Среднее квадратическое отклонение в направлении стрельбы равно м. Имеется систематическая ошибка в направлении стрельбы: недолет 3 м. Найти вероятность попадания в автостраду при одном выстреле.

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Уже известно, что если случайная величина X задана плотностью распределения f (х), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), такова:

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную z = (x--а)/--s. Отсюда x = sz+a, dx = sdz . Найдем новые пределы интегрирования. Если х= a, то z=(a-a)/--s; если х = b , то z = (b-а)/--s.

Таким образом, имеем

Пользуясь функцией Лапласа

окончательно получим

Вычисление вероятности случайного события

В партии из 14 деталей имеются 2 нестандартные. Наугад отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики, . Решение Очевидно...

Исследование прочности на разрыв полосок ситца

Говорят...

Методы оценок неизвестных параметров распределения

Если случайная величина X задана плотностью распределения, то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу, такова: Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение...

Непрерывная случайная величина

Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}. Рассмотрим свойства функции F(x). 1. F(-?)=lim(x>-?)F(x)=0...

Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на следующей теореме. Теорема. Вероятность того...

Конечное математическое ожидание mx=5 Среднее квадратическое отклонение уx=3 Размер выборки n=335 Доверительная вероятность г=0.95 Уровень значимости Количество выбираемых значений N=13 Моделирование случайной величины...

Статическое моделирование систем

Статическое моделирование систем

3. Оценка статистических характеристик случайного процесса Задачи определяются согласно разделам...

Статическое моделирование систем

Распределение: f(x)=b(3-x), b>0 Границы распределения 1